Po absolutoriu brněnské JAMU působil na divadlech v Českém Těšíně, Brně, Pardubicích, od roku 1965 v pražském Činoherním klubu. Od roku 1978 je členem činohry Národního divadla. Hrál ve více než stovce TV filmů, her, inscenací a seriálů.
Josef Somr se narodil v moravské obci Vracov u Kyjova jako prostřední ze tří bratrů. Otec, původní profesí truhlář, si našel místo na dráze a stal se výpravčím. Josef Somr byl do svých 14 let přesvědčen, že půjde v otcových stopách a stane se železničářem. Jenže po příchodu na kyjovské gymnázium zjistil, že nemá nadání na technické předměty.
Přihlášku na brněnskou JAMU podal víceméně náhodou, když nevěděl co dělat po maturitě. S místními ochotníky vystupoval v drobných rolích a tato zkušenost se mu na škole hodila. V roce 1956 studium dokončil a odešel do svého prvního angažmá v Českém Těšíně. Po dvou letech se vrátil do Brna a další tři roky působil v Divadle bratří Mrštíků. Následující čtyři roky odehrál na jevišti divadla v Pardubicích.
Nadějného herce si všimli režiséři Klos a Kadár. Přidělili mu epizodní roli lékaře v dramatu Obžalovaný. Talent Josefa Somra zaujal režiséra Jana Kačera, a tak v roce 1965 herec získal angažmá v Činoherním klubu. O rok později si ho režisér Menzel vybral do role ve svém oskarovém snímku Ostře sledované vlaky. Úspěch filmu znamenal průnik mezi hereckou elitu. V následujících 35 letech byl pokládán za jednoho z nejlepších psychologických herců se schopností zahrát komplikované charaktery. Dlouho hrával téměř výhradně potměšilce, podvodníky, svůdce, hochštaplery a jiné padouchy. Později začal vytvářet vnitřně komplikované postavy ztracených individuí, klamaných a klamajících manželů a ne právě šťastných otců dospívajících dětí, tedy postavy výrazně tragikomické. Jeho specialitou byli nejrůznější slaboši, intrikáni a hochštapleři, obecně nesympatické postavy. Díky těmto rolím Somr obvykle nefiguroval v popředí žebříčků divácké popularity.
V roce 1978 přestoupil na popud Miroslava Macháčka do Národního divadla a stal se jedním z pilířů souboru. V 90. letech si zahrál v několika filmech, nicméně podstatně větší prostor mu v té době už dávala Česká televize. Somrův příjemný hlas několikrát využili tvůrci večerníčkových seriálů a jeho hlas se objevil i v animovaných filmech. Namluvil řadu dokumentů, mnoho filmů nadaboval a velký prostor mu dával i rozhlas.
V roce 2002 odešel znechucený nekoncepčností Národního divadla do důchodu a vzápětí ho postihl akutní zánět slinivky, který vedl k náročné operaci a v následujících letech omezil jeho pracovní nasazení. Později začal znovu v divadlech hostovat a pracoval i pro televizi a rozhlas.
Za roli v Hrubínově Romanci pro křídlovku na prknech Národního divadla získal cenu Thálie pro rok 1997. V roce 2001 převzal druhou za strhující představení Gin Game, které vytvořil v pražské Viole spolu s Blankou Bohdanovou. V roce 2005 obdržel z rukou prezidenta republiky za svou celoživotní práci medaili Za zásluhy.
Svatba na bitevním poli / Svatba na bitevním poli - Česká republika, 2008 rozhovor
U mě dobrý / U mě dobrý - Česká republika, 2008 rozhovor
Saxána a Lexikon kouzel / Saxána a Lexikon kouzel - Česká republika, 2011 rozhovor