Narozen roku 1963, absolvoval Fakultu architektury VUT v Brně. Jako asistent získal zkušenosti u architekta Zbyňka Hlocha. Za svou první samostatnou práci na tragikomedii Jiřího Menzela Život a neobyčejná dobrodružství vojáka Ivana Čonkina získal Cenu za výpravu na festivalu v Novém Městě nad Metují a nominaci na Českého lva. Podílel se na romantické pohádce Jak si zasloužit princeznu, dramatu Cesta peklem, na Schmidtově zatím nedokončeném snímku Situace vlka, na divácky mimořádně úspěšné tragikomedii Báječná léta pod psa a také na snímku Pelíšky, dále filmy Hanele, Cesta z města a Oběti a vrazi. Výrazně se podílel na podobě úspěšného filmu Musíme si pomáhat režiséra Jana Hřebejka, který byl nominován na Oscara.
Býček pracoval i na filmu Rok ďábla (režie: Petr Zelenka), který měl premiéru v březnu 2002 a získal Křišťálový glóbus na MFF v K.Varech. Působí též v oblasti televizní tvorby: s režisérem Karlem Smyzckem realizoval seriál Místo nahoře, který bude ČT vysílat na podzim roku 2003.
Milan Býček je také projektant a realizátor v oboru užité architektury a spolupracuje na reklamních spotech.